Ubin ‘mustahil’ yang tidak pernah berulang telah ditemukan

Masalah geometri yang telah membingungkan para ilmuwan selama 60 tahun kemungkinan besar baru saja dipecahkan oleh seorang matematikawan amatir dengan bentuk 13 sisi yang baru ditemukan.

Disebut “Topi” karena samar-samar menyerupai fedora, bentuk yang sulit dipahami adalah “einstein” (dari bahasa Jerman “ein stein”, atau “satu batu”). Itu berarti dapat sepenuhnya menutupi permukaan tanpa pernah membuat pola berulang — sesuatu yang belum dicapai dengan satu ubin pun.

“Saya selalu mencari bentuk yang menarik, dan yang ini lebih dari itu,” kata David Smith, pencipta dan pensiunan teknisi percetakan dari Inggris utara, dalam sebuah wawancara telepon. Segera setelah menemukan bentuknya pada November 2022, dia menghubungi seorang profesor matematika dan kemudian, dengan dua akademisi lainnya, mereka merilis makalah ilmiah yang diterbitkan sendiri tentangnya.

“Sejujurnya, saya tidak terlalu suka matematika – saya mengerjakannya di sekolah, tetapi saya tidak mahir dalam itu,” kata Smith. Itu sebabnya saya melibatkan orang-orang ini, karena tidak mungkin saya bisa melakukan ini tanpa mereka. Saya menemukan bentuknya, yang merupakan sedikit keberuntungan, tetapi saya juga gigih.”

Mulai dari 20.426 menjadi satu

Sebagian besar wallpaper atau ubin di dunia nyata bersifat periodik, artinya Anda dapat mengidentifikasi kelompok kecil yang terus berulang untuk menutupi seluruh permukaan. “Topi”, bagaimanapun, adalah ubin aperiodik, artinya masih dapat menutupi permukaan sepenuhnya tanpa celah, tetapi Anda tidak akan pernah dapat mengidentifikasi cluster mana pun yang berulang secara berkala untuk melakukannya.

Terpesona oleh gagasan bahwa kumpulan bentuk aperiodik seperti itu bisa ada, matematikawan pertama kali memikirkan masalahnya di awal 1960-an, tetapi mereka awalnya percaya bahwa bentuk itu tidak mungkin. Itu ternyata salah, karena dalam beberapa tahun satu set 20.426 ubin yang – bila digunakan bersama – dapat melakukan pekerjaan itu telah dibuat. Jumlah itu segera dikurangi menjadi lebih dari 100, dan kemudian turun menjadi enam.

Pada tahun 1970-an, karya fisikawan Inggris dan pemenang Hadiah Nobel Roger Penrose semakin mengurangi jumlah bentuk dari enam menjadi dua dalam sistem yang sejak itu dikenal sebagai ubin Penrose. Dan di situlah hal-hal macet selama beberapa dekade.

Smith menjadi tertarik dengan masalah tersebut pada tahun 2016, ketika dia meluncurkan blog tentang masalah tersebut. Enam tahun kemudian, pada akhir 2022, dia pikir dia telah mengalahkan Penrose dalam menemukan einstein, jadi dia menghubungi Craig Kaplan, seorang profesor di School of Computer Science di University of Waterloo di Kanada.

“Dari sudut pandang saya, itu dimulai dengan email tiba-tiba,” kata Kaplan dalam sebuah wawancara telepon. “David tahu bahwa saya baru-baru ini menerbitkan makalah yang menjelaskan perangkat lunak yang dapat membantunya memahami apa yang terjadi dengan ubin itu.”

Dengan bantuan perangkat lunak, keduanya menyadari bahwa mereka sedang melakukan sesuatu.

Bagaimana ‘Topi’ bekerja

Tidak ada yang ajaib tentang “Topi”, menurut Kaplan.

“Ini benar-benar poligon yang sangat sederhana untuk dideskripsikan. Tidak ada sudut aneh dan irasional, pada dasarnya hanya sesuatu yang Anda dapatkan dengan memotong segi enam.” Untuk alasan itu, tambahnya, mungkin telah “ditemukan” di masa lalu oleh ahli matematika lain yang membuat bentuk serupa, tetapi mereka tidak berpikir untuk memeriksa properti ubinnya.

Temuan tersebut telah menimbulkan kehebohan sejak dirilis pada akhir Maret. Seperti yang ditunjukkan Kaplan, itu telah menginspirasi terjemahan artistikselimut rajutan, pemotong kue, penjelasan TikTok, dan bahkan lelucon di salah satu monolog pembuka Jimmy Kimmel.

“Saya pikir itu mungkin membuka beberapa pintu,” kata Smith, “Saya punya firasat kita akan memiliki cara pandang yang berbeda untuk menemukan anomali semacam ini, jika Anda suka.”

Bentuknya tersedia untuk umum, bahkan untuk pencetakan 3D, dan tidak akan dilindungi hak cipta.

“Kami tidak berusaha melindunginya dengan cara apa pun,” kata Kaplan. “Ini milik semua orang, dan saya harap orang-orang akan menggunakan ini dalam semua jenis konten dekoratif, arsitektur, dan artistik.”

Bagaimana dengan ubin kamar mandi? “Saya hanya bisa berharap kita akan melihat banyak kamar mandi yang didekorasi dengan itu, tapi ini akan sedikit rumit,” tambahnya. “Salah satu alasan kami menggunakan ubin berkala di tempat-tempat seperti kamar mandi adalah karena aturan cara memasangnya cukup sederhana. Dengan ini, Anda memiliki tantangan yang berbeda – Anda berpotensi mulai meletakkannya dan meretas diri Anda sendiri ke sudut di mana Anda telah menciptakan ruang yang tidak dapat Anda isi dengan lebih banyak topi.”

Tinjauan sejawat di depan

Jauh dari puas dengan menulis ulang sejarah matematika, Smith telah menemukan “sekuel” dari “Topi”. Ditelepon “Kura-kura,” bentuk barunya juga einstein, tetapi terbuat dari 10 layang-layang, atau bagian, bukan delapan, dan karena itu lebih besar dari “Topi”.

“Ini sedikit kecanduan,” aku Smith tentang pencariannya yang terus-menerus akan bentuk baru.

Makalah ilmiah tentang “The hat”, ditulis bersama dengan Joseph Myers, seorang pengembang perangkat lunak, dan Chaim Goodman-Strauss, seorang ahli matematika di Universitas Arkansas, belum melalui tinjauan sejawat — proses verifikasi oleh ilmuwan lain yang merupakan standar dalam publikasi ilmiah — tetapi akan dilakukan dalam beberapa bulan ke depan.

“Saya benar-benar berharap untuk melihat apa yang dihasilkan dari proses itu,” kata Kaplan, mengakui bahwa temuan tersebut dapat diperdebatkan. “Saya sangat percaya akan pentingnya peer review sebagai cara melakukan sains. Jadi, sampai itu terjadi, saya setuju bahwa harus ada alasan untuk belum memastikan. Tapi berdasarkan bukti yang kami kumpulkan, sulit untuk membayangkan cara bahwa kita bisa salah.”

Penemuan itu, setelah dikonfirmasi, dapat menjadi signifikan di bidang penelitian lainnya, menurut Rafe Mazzeo, seorang profesor di departemen matematika di Universitas Stanford, yang tidak terlibat dalam penelitian tersebut.

“Ubin memiliki banyak aplikasi dalam fisika, kimia, dan lainnya, misalnya dalam studi kristal,” katanya dalam email. “Penemuan ubin aperiodik, bertahun-tahun yang lalu, menimbulkan kehebohan, karena keberadaannya sangat tidak terduga.

“Penemuan baru ini adalah contoh yang sangat sederhana. Tidak ada teknik standar yang diketahui untuk menemukan ubin aperiodik baru, jadi ini melibatkan ide yang benar-benar baru. Itu selalu menarik,” tambahnya.

Mazzeo mengatakan senang juga mendengar penemuan matematika yang begitu mudah untuk divisualisasikan dan dijelaskan: “Ini menggambarkan bahwa matematika masih merupakan subjek yang berkembang, dengan banyak masalah yang belum terpecahkan.”